Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat x² + bx + c = 0 dapat ditentukan dengan bentuk

Sebuah persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 memiliki paling banyak dua akar real. Artinya, bisa saja akarnya hanya satu bilangan real atau tidak memiliki akar bilangan real sama sekali. Jenis akar persamaan kuadrat (PK) bisa diketahui tanpa perlu menentukan akarnya terlebih dahulu.

Silakan baca: Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Dalam menentukan akar persamaan kuadrat terdapat 3 cara yaitu dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus.

Rumus untuk menentukan akar PK adalah sebagai berikut.

Pada rumus di atas konten di dalam akar (b2-4ac) dapat digunakan untuk menentukan jenis akar persamaan kuadrat. Selanjutnya, bentuk b2-4ac disebut sebagai diskriminan, sehingga sering ditulis menjadi rumus diskriminan sebagai berikut.
D=b2-4ac

Hubungan diskriminan dengan jenis akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

D=b2-4ac Jenis Akar
D>0 Dua akar real berbeda
D=0 Dua akar real kembar atau hanya memiliki satu akar real
D<0 Tidak memiliki akar real

Perhatikan contoh soal berikut.
Tanpa menentukan akarnya, tentukan jenis akar persamaan kuadrat berikut.

  1. x2-8x+16=0
  2. x2+4x-12=0
  3. x2-3x+18=0

Nilai diskriminan dari persamaan x2-8x+16=0 adalah sebagai berikut.
D=(-8)2-4(1)(16) =64-64 D=0

Karena nilai diskriminannya nol (D=0) maka persamaan pada nomor a memiliki akar real kembar.

Nilai diskriminan dari x2+4x-12=0 adalah
D=42-4(1)(-12) =16+48 =64>0 D>0

Karena nilai diskriminannya positif (D>0) maka memiliki akar real berbeda.

Silakan hitung sendiri nilai diskriminan persamaan kuadrat pada soal c. Nilainya negatif, kan? Karena diskriminannya negatif (D<0), persamaan x2-3x+18=0 tidak memiliki akar real.

Diskriminan digunakan pada soal yang berkaitan dengan jenis akar persamaan kuadrat. Selain itu, diskriminan juga dapat digunakan untuk mengecek apakah sebuah PK mudah untuk difaktorkan atau tidak. Jika sebuah PK sulit untuk ditentukan faktornya bisa jadi karena tidak memiliki akar real yang ditunjukkan oleh nilai diskriminan negatif.

Oleh OpanDibuat 07/11/2016

Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Gabung grup telegram t.me/maths_id untuk diskusi dan tanya-jawab

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

© MATHS.ID | Privacy Policy | FAQ

Kita akan membahas deskriminan persamaan kuadrat. Tahukah kalian apa tujuan kita mempelajari deskriminan persamaan kuadrat ini? Tujuan nya adalah agar kita lebih mengetahui jenis akar – akar persamaan kuadrat. Akar – akar kuadrat

 ax2 + bx + c = 0 mempunyai kaitannya dengan nilai deskriminannya yaitu sebagai berikut :

  1. Apabila D > 0, persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 akar real berlainan.
  2. Apabila D = 0, persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 akar real yang sama (kembar/mirip)
  3. Apabila D < 0, persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai 2 akar real atau tidak keduanya real.

Rumus Deskriminan sebagai berikut :

          D  = b2 – 4ac

perhatikan soal – soal dibawah ini :

Tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukanlah jenis – jenis akar persamaan kuadrat dibawah ini :

  1. X2 + x – 6 = 0
  2. X2 + 4x + 4 = 0
  3. 2X2 + 7x – 15 = 0
  4. X2 – 6x + 8 = 0
  5. 2X2 + 14x + 40 = 0

Penyelesaian :

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 1, b =1, c = -6 maka deskriminannya adalah sebagai berikut :

D       = b2 – 4ac

          = 12 – 4(1)(-6)

          = 1 + 24 = 25

          = 25 > 0

Karena D > 0 dan D = 25 = 52 merupakan bentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat X2 + x – 6 = 0 mempunyai 2 akar real berbeda dan rasional.

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a=1, b=4,  c=4 maka deskriminannya adalah sebagai berikut :

D       = b2 – 4ac

          = 42 – 4(1)(4)

          = 16 – 16

          = 0

Karena D = 0 merupakan bentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat X2 + 4x + 4 = 0

mempunyai 2 akar real yang sama (kembar).

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 2, b =7, c = -15 maka deskriminannya adalah sebagai berikut :

D       = b2 – 4ac

          = 72 – 4(2)(-15)

          = 49 + 120 = 169

          = 169 > 0

Karena D > 0 dan D = 169  merupakan bentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 2X2 + 7x – 15 = 0 mempunyai 2 akar real berbeda dan rasional.

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 1, b =-6, c = 8 maka deskriminannya adalah sebagai berikut :

D       = b2 – 4ac

          = (-6)2 – 4(1)(8)

          = 36 – 32 = 4

          = 4 > 0

Karena D > 0 dan D = 4 = 22 merupakan bentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat X2 – 6x + 8 = 0 mempunyai 2 akar real berbeda dan rasional.

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 2, b =14, c = 40 maka deskriminannya adalah sebagai berikut :

D       = b2 – 4ac

          = (14)2 – 4(2)(40)

          = 196 – 320 = -124

          = -124  < 0

Karena D < 0 merupakan bentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 2X2 + 14x + 40 = 0 tidak mempunyai  akar real atau kedua akarnya tidak real.

Terimakasih semoga ilmu yang didapat bermanfaat dan selalu kekal diotak.

Baca Juga :

Sponsor :

(1)

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel; a,b,c konstanta ; a ≠ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi

persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan. Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat

ditentukan dengan cara
1. Memfaktorkan

ax² + bx + c = 0 → ax² + bx + c = 0 → a (x + p/a) (x + p/a) = 0
→ x1 = – p/a dan x2 = – q/a

dengan p.q = a.c dan p + q = b 2. Melengkapkan bentuk kuadrat

persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi (x + p)² = q² → x + p = ± q

x1 = q – p dan x2 = – q – p

3.

Rumus ABC

ax² + bx + c = 0 → X1,2 = ( [-b ± √(b²-4ac)]/2a

bentuk (b² – 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± √D)/2a

Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

1. D > 0

x1 = (-b+√D)/2a ; x2 = (-b-√D)/2a

PK mempunyai dua akar nyata berbeda

2. D = 0

(2)

PK mempunyai dua akar nyata yang sama

tt

3. D < 0

Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

syarat akar nyata/ada/riil : D ≥ ≥ ≥ ≥ 0

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax

²

+ bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah
akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu: X1 = (-b+√√√√D)/2a dan X2 = (-b-√√√√D)/2a

didapat hubungan

X1 + X2 = -b/a X1.X2 = c/a X1 – X2 = √√√√D/a

Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata

1. Kedua akar nyata berlawanan
Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0

X1 + X2 = 0 → b = 0

Ket: X1 + X2 = 0 → -b/a = 0 → b = 0

2. Kedua akar nyata berkebalikan
Maksudnya : X1 = 1/X2

(3)

X1 . X2 = 1 → a = c

Ket: X1 . X2 = 1 → c/a = 1 → a = c

3. Kedua akar nyata positif
Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0
syarat : D ≥ 0

X1 + X2 > 0 X1 . X2 > 0

4. Kedua akar nyata negatif
maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0
syarat: D ≥≥≥≥ 0

X1 + X2 < 0 X1 . X2 > 0

5. Kedua akar nyata berlainan tanda
Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

syarat : D > 0 X1 . X2 < 0

Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2

tandanya tidak pasti

6.

Kedua akar rasional

Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk √√√√
syarat : D = bentuk kuadrat

D = (0,1,4,9,16,25…)

Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda √ , sehingga X1 dan X2

rasional

(4)

Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau

(X1.X2) 1. X1² + X2² = (X1 + X2)² – 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)

2. X1³ + X2³ = (X1+X2)³ – 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ – 3(c/a)(-b/a)

3. X14 + X24 = (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² – 2X1X2]² – 2(X1X2)²
= [(-b/a)² – 2(c/a)]² – 2(c/a)²

4. X1²X2 + X1X2² = X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)

5. 1/X1 + 1/X2 = (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c

6. X1/X2 + X2/X1 = (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2

7. (X1-X2)² = (X1+X2)² – 4X1X2 atau [√√√√D/a]² = D/a²

8. X1² – X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(√√√√D/a)

Bedakan Istilah
Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²) (5)

dengan

Kuadrat Jumlah (X1+X2)²

Menyusun Persamaan Kuadrat

KEDUA AKARNYA KUADRAT
Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X – X1)(X – X2) = 0
2. Menggunakan sifat akar X² – (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR
PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI

Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui

1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y² – (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0

2. Hubungan beraturan (hal khusus)

Akar-akar baru Hubungan PK Baru

p lebihnya
(X1+p) dan (X2+p) y = X + p → X = y-p

a(y-p)² + b(y-p) + c =0

p kurangnya
(X1-p) dan (X2-p) y = X – p a(y+p)² + b(y+p) + c = 0 (6)

→ X = y + p

p kali
pX1 dan pX2

y = pX

X = y/p

a(y/p)²+b(y/p)+c=0

kebalikannya
1/X1 dan 1/X2

y=1/X X= 1/y

a(y/p)² + b(1/y) + c = 0 atau cy²+by+a = 0

kuadratnya
X1² dan X2²

y = X² → X = √y

a(√y)² + b(√y) + c = 0 atau a²y + (2ay-b²)y + c² = 0

Sifat-Sifat

Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :

a > b ; a = b atau a < b

1. a > b →→→→ a – b > 0
a = b →→→→ a – b = 0
a < b →→→→ a – b < 0

prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif

2. a + b < c →→→→ a + b – c < 0
atau

c-a-b>0

3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama
a + c < b + c

a < b → → → →

{{{{

(7)

4.

5. Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama
a < b ac < bc

c > 0

}}}}

{{{{

a/c < b/c
6.

Tanda tetap

7. Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama

a < b ad > bd
d < 0

}}}}

{{{{

a/d > b/d
TANDA
BERUBAH
8. 9. Pangkat Genap
a > 0 ; b > 0

a < b

}}}}

a² < b² TANDA TETAP
10.

a < 0 ; b < 0

a < b

}}}}

a² > b² TANDA BERUBAH
11. 12. Pangkat Ganjil
a³ < b³
a5 < b5
a < b →→→ →

{{{{

a7 < b7



→ TANDA TETAP
13. 14. Kebalikan
a > 0 ; b > 0

a < b

}}}}

1/a > 1/b TANDA BERUBAH
15. (8)

a < 0 ; b < 0

a < b

}}}}

1/a > 1/b TANDA BERUBAH

Garis Bilangan

Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.
Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan
fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.

Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama
adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.

Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah
yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga
tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari
koefisien variabel.

Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu

berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga bernilai negatif.

Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan

Andaikan a < b

Ambil yang paling kanan

Ambil yang paling kiri

Ambil yang berada diantaranya
contoh :

(9)

1. UNTUK BATAS TUNGGAL
f(x) = (x – a) (x – b)

f(x) < 0 untuk a < x < b

f(x) > 0 untuk x < a atau x > b

HAL KHUSUS
Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat

difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut:

(+) | (-) | (+)

Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut :

(-) | (+) | (-)

2. UNTUK BATAS RANGKAP

f(x) = (x – a)² (x – b) f(x) = (x – a) (x – b)²

(-) || – | (+)

a b

(-) | – || (+)

a b

f(x) < 0 untuk x < b ; x

a

f(x) > 0 untuk x > b
f(x) < 0 untuk x < a f(x) untuk x > a ; x

b

Ket :

bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya

berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya
tetap.

Jenis-Jenis Pertidaksamaan

(10)

Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.

Penyelesaian:

Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.

Contoh :

2x – 3 > 5 → 2x > 5 + 3

ijgeiirjirijrigir j 2x > 8

gehghhejehh2x > 2 gambar

B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)

Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.
Penyelesaian:

• Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.

(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).

• Kuadratkan kedua ruasnya.

(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
• Selesaikan pertidaksamaannya … (1)

syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (≥ 0)…(2)

(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)

• Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas. Contoh:
1. √(x-2) < 2 → kuadratkan x – 2 < 4 x < 6 → syarat : x – 2 ≥ 0 x ≥ 2 2 ≤ x < 6 2. √(-x + 3) – √(2x + 1) > 0 seimbangkan
√(-x+3) > √(2x+1) → kuadratkan -x + 3 > 2x + 1 3x < 2 x < 2/3 → syarat : -x + 3 ≥ 0 → x ≤ 3 dan

(11)

2x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1/2

-1/2 ≤ x < 2/3

C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya : ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a

0. Penyelesaian:

• Jadikan ruas kanan = 0

• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran) • Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.

• Tetapkan nilai-nilai nolnya

• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan

• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan

(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +, bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

contoh:
x² + x – 2 > 0 (x + 2) (x – 1) > 0 x < -2 atau x > 1

D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Penyelesaian:

• Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0

(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan

(12)

• Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.

• Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat:
penyebut pecahan ≠≠≠≠ 0
contoh : -8 ≤ x <1 (2x + 7)/(x – 1) ≤ 1
(2x + 7)/(x – 1) – 1 ≤ 0 (2x + 7)/(x – 1) – (x – 1)/(x – 1) ≤ 0 → (x + 8)/(x – 1) ≤ 0 syarat : penyebut (x-1) ≠ 0 x ≠ 1

E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)
Penyelesaian:

• Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang

definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat

dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.

Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat
dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.

• Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol

yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol

yang rangkap genap.

contoh:

1.

(x – 1/2) (x² – 3x – 4) (x² – 6x + 9) < 0 (x -1/2) (x – 4) (x – 1) (x – 3)² < 0

x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4

2. (3x² + x + 2)/(x² + 4x – 12) > 0

Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² – 4(3)(2) = -23 dan a = 3

D < 0 dan a > 0

(13)

(+)/(X² + 4X – 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X – 2) > 0

X < -6 atau X > 2 F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Batasan : |x| = x jika x > 0

0 jika x = 0

-x jika x < 0 keterangan : |x| ≥ 0 masalah : menghilangkan tanda mutlak.

Penyelesaian:

Untuk a > 0

x< a ↔ -a < x < a x > a ↔ x < -a atau x > a x = a ↔ x = ±a

secara umum:

menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas atau

|x| < a → x² < a² → x² – a² < 0 → (x-a)(x+a) < 0 → -a < x < a |x| > a → x² > a² → x² – a² > 0 → (x-a)(x+a) > 0 → x<-a atau x>a

keterangan:

|x| < -a TM |x| > -a ∀x

Leave a Comment